376
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
USO DE GEOGEBRA PARA LA COMPRENSIÓN DE LA
DERIVADA IMPLÍCITA EN INGENIERÍA
Marco Antonio Ayala Chauvin
Docente investigador Departamento de Ciencias de la Educación.
Universidad Técnica Particular de Loja, Ecuador.
maayala5@utpl.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-0084-6773
Richard Leonardo Luna Romero
Docente en el Ministerio de Educación, Ecuador.
rlluna@utpl.edu.ec
https://orcid.org/0009-0008-8832-7898
Autor para correspondencia: maayala5@utpl.edu.ec
Recibido: 07/10/2024 Aceptado: 06/01/2025 Publicado: 25/01/2025
RESUMEN
Este artículo presenta una intervención educativa en el aula de Análisis
Matemático Univariado, centrada en el concepto de derivada implícita y su
visualización gráfica mediante GeoGebra, con el propósito de mejorar el
rendimiento académico. El objetivo de la intervención fue superar las dificultades
que presentaban los estudiantes de Ingeniería Civil para graficar funciones
implícitas y comprender la relación entre la curva y su recta tangente en un punto
específico, lo que dificultaba la interpretación geométrica de la derivada
implícita. La intervención se fundamentó en la teoría de registros de
representaciones semióticas de Duval (2006), que propone que los estudiantes
alcanzan una comprensión profunda de un objeto matemático cuando pueden
realizar conversiones entre diferentes registros de representaciones, en este caso,
entre el registro algebraico al gráfico. Se diseñó un applet en GeoGebra que
permitió a los estudiantes visualizar curvas implícitas de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 y
graficar la recta tangente en un punto determinado. La metodología incluyó el uso
del applet para facilitar la transición entre la representación algebraica a la
gráfica, permitiendo una comprensión más profunda de la derivada implícita. Los
resultados mostraron una mejora significativa en la capacidad de los estudiantes
para comprender la relación entre la expresión algebraica de una función implícita
y su representación gráfica. Se concluye que la integración de herramientas
tecnológicas como GeoGebra, combinada con la teoría de registros de
representaciones, facilita la apropiación de conceptos abstractos como la derivada
implícita, al mejorar la capacidad de conversión entre diferentes formas de
representación matemática.
Palabras clave: Derivada implícita, visualización gráfica, GeoGebra, enseñanza
matemática, registros semióticos.
USING GEOGEBRA TO UNDERSTANDING OF IMPLICIT
DERIVATIVES IN ENGINEERING
ABSTRACT
This article presents an educational intervention in the Univariate Mathematical
Analysis classroom, focusing on the concept of implicit differentiation and its
graphical visualization using GeoGebra, with the aim of improving academic
377
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
performance. The intervention sought to address the difficulties faced by Civil
Engineering students in graphing implicit functions and understanding the
relationship between a curve and its tangent line at a specific point, which
hindered their geometric interpretation of implicit differentiation. The
intervention was based on Duval's (2006) theory of semiotic representation
registers, which posits that students achieve a deep understanding of a
mathematical object when they can transition between different representation
registers, in this case, from algebraic to graphical representation. An applet was
designed in GeoGebra to allow students to visualize implicit curves of the form
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 and graph the tangent line at a given point. The methodology included
the use of the applet to facilitate the transition from algebraic to graphical
representation, enabling a deeper understanding of implicit differentiation. The
results showed a significant improvement in students' ability to comprehend the
relationship between the algebraic expression of an implicit function and its
graphical representation. It is concluded that integrating technological tools such
as GeoGebra, combined with the theory of representation registers, enhances the
understanding of abstract concepts like implicit differentiation by improving
students' ability to transition between different forms of mathematical
representation.
Keywords: Implicit derivatives, GeoGebra, mathematical visualization, semiotic
representations, engineering education.
INTRODUCCIÓN
La enseñanza de las matemáticas ha evolucionado significativamente con el
advenimiento de herramientas tecnológicas. En particular, el uso de GeoGebra, un
software interactivo que combina geometría, álgebra y cálculo, ha demostrado ser
un recurso valioso para mejorar la comprensión de conceptos abstractos y
complejos (Andrade et al., 2020). Uno de estos conceptos fundamentales es la
derivada implícita, ampliamente aplicada en diversas ramas de la ingeniería.
Los estudiantes a menudo enfrentan dificultades al intentar interpretar
geométricamente las funciones implícitas y su relación con la curva y su tangente.
Estas dificultades limitan la comprensión teórica y afectan el desarrollo de
habilidades prácticas necesarias en la ingeniería (Puspita et al., 2023). En este
contexto, la integración de tecnologías como GeoGebra puede proporcionar un
entorno interactivo y dinámico que facilite la conversión entre representaciones
algebraicas y gráficas, promoviendo así una comprensión más profunda del objeto
matemático. (Arteaga et al., 2019)
La investigación presentada se basa en la teoría de registros de representaciones
semióticas de Duval. Según esta teoría, la comprensión de un concepto
matemático depende de la capacidad de los estudiantes para pasar de un registro
de representación a otro. En este caso, se enfatiza la conversión del registro
algebraico al gráfico (Duval, 2006). A partir de esta teoría, se diseñó una
378
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
intervención educativa que emplea un applet de GeoGebra para la visualización
de curvas implícitas y la representación gráfica de la tangente en un punto.
El objetivo principal de este estudio es evaluar si el uso de GeoGebra mejora la
comprensión de la derivada implícita en estudiantes de Ingeniería Civil,
centrándose en la relación entre la representación algebraica y gráfica de
funciones implícitas.
METODOLOGÍA
La investigación se llevó a cabo en la Universidad Técnica Particular de Loja
(UTPL), específicamente en las aulas de Análisis Matemático Univariado, durante
el período académico de marzo a julio de 2024. Se enfocó en estudiantes de
Ingeniería Civil que cursaban dicha asignatura, seleccionados mediante un
muestreo no probabilístico de conveniencia (Hernández y Mendoza, 2018), con un
total de 60 participantes. La población estudiada fue elegida debido a sus
dificultades previas en la comprensión de la derivada implícita y su visualización
gráfica, identificadas en evaluaciones y retroalimentaciones previas.
El enfoque metodológico de la investigación fue de naturaleza cuantitativa,
sustentado en el paradigma positivista (Herrera, 2018). El diseño de estudio fue
cuasi-experimental con grupo control y grupo experimental (Vizcaíno et al., 2023).
El grupo experimental trabajó con la intervención educativa basada en el uso de
GeoGebra, mientras que el grupo control utilizó métodos tradicionales de
enseñanza.
La variable dependiente fue la comprensión de la derivada implícita, medida a
través de evaluaciones pre-test y post-test que incluyeron ejercicios algebraicos y
gráficos. La variable independiente fue el uso del applet de GeoGebra diseñado
específicamente para visualizar funciones implícitas y graficar la recta tangente
en un punto determinado.
La intervención educativa consistió en la implementación de un applet interactivo
de GeoGebra que permitía a los estudiantes visualizar curvas implícitas de la forma
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 y la tangente asociada en un punto específico. La teoría de registros
de representaciones semióticas de Raymond Duval (1995) fue el marco teórico
subyacente, utilizado para evaluar la capacidad de los estudiantes de realizar
conversiones entre el registro algebraico y gráfico.
Para la recolección de datos, se emplearon instrumentos cuantitativos, como
cuestionarios estandarizados y pruebas diseñadas específicamente para evaluar la
comprensión de la derivada implícita antes y después de la intervención (D. V
379
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
Sánchez, 2022). Los resultados se analizaron mediante técnicas estadísticas
descriptivas e inferenciales (Acosta, 2023), utilizando software especializado para
evaluar la significancia de las mejoras observadas(Purwanto et al., 2021). Se aplicó
la prueba t de Student para muestras independientes con el objetivo de comparar
las medias obtenidas en las pruebas post-test de ambos grupos. (Bautista et al.,
2020)
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Los resultados derivados de la intervención educativa evidencian una mejora
significativa en la comprensión de la derivada implícita entre los estudiantes de
Ingeniería Civil. El análisis de los datos recopilados mostró que aquellos que
utilizaron el applet de GeoGebra experimentaron un avance considerable en su
capacidad para graficar funciones implícitas y determinar la recta tangente en un
punto específico de la curva. La metodología implementada abordó eficazmente
las dificultades cognitivas asociadas con la conversión entre registros algebraicos
y gráficos, contribuyendo a una mejor asimilación del concepto de derivada
implícita.
Se trabajó con dos grupos paralelos de la asignatura Análisis Matemático
Univariado, con una muestra total de 60 estudiantes seleccionados mediante un
muestreo no probabilístico de conveniencia (Hernández, 2021). Los resultados
fueron analizados mediante comparaciones antes y después de la intervención,
utilizando las calificaciones obtenidas en pruebas específicas diseñadas para medir
la comprensión de la derivada implícita.
Tabla 1. Caracterización de la muestra estudiada
Característica
Paralelo 1
Paralelo 2
Número de estudiantes
30
Edad promedio
21,2 años
Porcentaje de uso previo de
GeoGebra
60%
Promedio inicial en la
evaluación de conceptos
vinculados a la derivada
implícita
6,5/10
La tabla 1 refleja las características de la muestra estudiada. Se observa un
número equilibrado de estudiantes entre los dos paralelos, y más del 60% ya tenían
experiencia previa con GeoGebra, lo que facilitó la integración del applet en el
proceso de intervención educativa.
380
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
Posteriormente a la intervención, los resultados mostraron un aumento en la
capacidad de los estudiantes de ambos paralelos para interpretar funciones
implícitas y su derivada, como se refleja en la tabla 2 y la figura 1.
Tabla 2. Comparación de calificaciones antes y después de la intervención
Evaluación
Paralelo 1
(Promedio)
Paralelo 2 (Promedio)
Calificación inicial
6,8/10
6,5/10
Calificación posterior
8,8/10
7,4/10
Figura 1. Porcentajes de calificaciones post-test
La tabla 2 muestra que, tras utilizar el applet de GeoGebra, los estudiantes del
paralelo 1 (Grupo Experimental) mejoraron sustancialmente su comprensión de la
derivada implícita, con un incremento promedio superior a dos puntos en la
evaluación posterior a la intervención. En contraste, en el paralelo 2 (Grupo
Control), el promedio del curso solo aumentó en un punto tras recibir una clase
tradicional. Este resultado destaca el impacto positivo de la tecnología en la
enseñanza y el aprendizaje de conceptos matemáticos.
Tabla 3. Pruebas de normalidad resultado post-test
Shapiro-Wilk
Estadístico
gl
Sig.
Resultados Sin
GeoGebra
,984
30
,912
Resultados con
GeoGebra
,975
30
,691
381
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
Tabla 4. Prueba t para muestras independientes
La información presentada en la tabla 2 es coherente con los resultados mostrados
en la figura 1, donde se observa que solo en el grupo experimental los estudiantes
obtienen calificaciones superiores a 9 tras la implementación de las intervenciones
con GeoGebra. Después de confirmar que los datos cumplían con la prueba de
normalidad (con un nivel de significancia de 0,05), como se muestra en la tabla 3,
se procedió a realizar la prueba T de Student. (Molina, 2022)
Los resultados, reflejados en la tabla 4, muestran una significancia bilateral de
0.000, lo que indica que los estudiantes del grupo experimental, quienes utilizaron
el applet de GeoGebra, mejoraron significativamente su comprensión de la
derivada implícita en comparación con el grupo de control. En particular, se
evidenció un aumento en la capacidad de interpretar gráficamente las funciones
implícitas y su relación con la recta tangente. (Sánchez & Borja, 2022)
Figura 2. Ejemplo de visualización de la curva implícita y su recta tangente en
GeoGebra
382
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
La figura 2 muestra un ejemplo de cómo el applet de GeoGebra permitió a los
estudiantes visualizar la curva implícita de la forma 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎, junto con su recta
tangente en un punto específico. Esta herramienta resultó clave para fortalecer la
interpretación geométrica del concepto de derivada implícita. El applet está
disponible en el siguiente enlace: https://www.geogebra.org/classic/vnsvfvyb
Evaluación de las Competencias Matemáticas
La investigación evidenció mejoras significativas en las competencias matemáticas
de los estudiantes, particularmente en cuanto a:
• Cálculo de derivadas implícitas.
• Visualización Gráfica
• Conversión entre registros algebraicos y gráficos.
• Uso efectivo de tecnología para visualizar conceptos abstractos.
GeoGebra desempeñó un papel esencial en este proceso, facilitando tanto la
comprensión como el dominio de la derivada implícita, además de potenciar las
habilidades gráficas de los estudiantes.
Tabla 5. Categorización de elementos medibles
Categoría
Descripción
Indicadores
Competencia en
derivada
implícita
Habilidad para calcular
correctamente derivadas
implícitas de funciones.
- Número de errores algebraicos
cometidos durante la derivación
implícita.
- Uso correcto de reglas de
derivación.
Visualización
gráfica
Capacidad para graficar
funciones implícitas y sus
tangentes utilizando GeoGebra.
- Distingue correctamente los
objetos en el applet.
- Ingresa un punto y genera la
recta tangente.
- Ingresa una función implícita.
Conversión de
registros
Capacidad para convertir entre
registros algebraicos y gráficos.
- Realiza correctamente la
conversión de la representación
algebraica a la gráfica y
viceversa.
Uso de
tecnología
Dominio en el uso de GeoGebra
para visualizar conceptos
abstractos y verificar
soluciones.
- Frecuencia de uso del applet.
- Eficacia en la verificación
gráfica de conceptos.
Para evaluar la percepción de los estudiantes sobre el uso de GeoGebra y su
impacto en la comprensión de la derivada implícita, se aplicó una encuesta cuyos
resultados son los siguientes:
383
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
Tabla 6. Resultados de la encuesta sobre el uso de GeoGebra
Pregunta
Respuesta más frecuente
¿Qué tan fácil te resultó calcular la derivada
implícita de una función utilizando métodos
algebraicos?
Fácil
¿Te resultó útil el uso de GeoGebra para
visualizar la curva y su recta tangente?
Muy útil
¿Crees que la representación gráfica mejoró tu
comprensión del concepto de derivada
implícita?
Totalmente
¿Pudiste identificar correctamente la relación
entre la ecuación algebraica y su gráfica
utilizando GeoGebra?
Bastante
¿En qué medida sientes que el uso de
diferentes representaciones (gráfica y
algebraica) te ayudó a apropiarte del concepto?
Totalmente
Los datos de la encuesta muestran que la mayoría de los estudiantes consideraron
útil el uso de GeoGebra para visualizar y comprender mejor el concepto de
derivada implícita. Un 65% de los encuestados indicó que pudo identificar
correctamente la relación entre la representación gráfica y la ecuación algebraica,
y un 75% afirmó que la representación gráfica mejoró considerablemente su
comprensión.
Estos resultados confirman que el uso de recursos tecnológicos como GeoGebra es
un complemento esencial para el aprendizaje de conceptos matemáticos
abstractos en la enseñanza de matemáticas en ingeniería, como la derivada de
funciones implícitas. La visualización gráfica mejora la comprensión teórica y la
capacidad de interpretación y representación de funciones implícitas. Esto, a su
vez, se traduce en un mayor entendimiento por parte de los estudiantes y, por
consiguiente, en mejores calificaciones.
CONCLUSIONES
El uso de GeoGebra en la enseñanza de la derivada implícita en estudiantes de
Ingeniería Civil ha demostrado ser una herramienta eficaz para facilitar la
comprensión de este concepto matemático abstracto. Los resultados de la
intervención educativa indican que los estudiantes pudieron realizar conversiones
más fluidas entre los registros algebraicos y gráficos, lo que mejoró su capacidad
para interpretar la relación entre una curva implícita y su tangente. Esto destaca
384
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
la aplicabilidad práctica de GeoGebra como una plataforma interactiva que
fortalece la visualización de funciones complejas.
Uno de los aspectos más relevantes del estudio es la integración de la teoría de
registros de representaciones semióticas de Duval con herramientas tecnológicas.
Esta combinación ofrece un enfoque innovador para superar las dificultades
cognitivas que los estudiantes suelen enfrentar al interpretar la geometría de las
funciones implícitas. Los hallazgos coinciden con investigaciones previas que
subrayan la importancia de las representaciones múltiples para alcanzar una
comprensión matemática profunda.
En comparación con estudios similares, la presente investigación aporta un
enfoque metodológico específico centrado en la visualización gráfica mediante
GeoGebra. Sin embargo, se observan diferencias en los niveles de eficacia
dependiendo del nivel de dominio inicial de los estudiantes con respecto a la
herramienta tecnológica, lo que sugiere que futuras investigaciones podrían
explorar cómo mejorar la familiarización de los estudiantes con GeoGebra para
optimizar aún más los resultados.
De cara a investigaciones futuras, se recomienda estudiar la implementación de
esta metodología en diferentes contextos educativos y con otros objetos
matemáticos más complejos, como las ecuaciones diferenciales o las funciones
paramétricas. Además, sería relevante evaluar cómo el uso de tecnologías
complementarias podría potenciar aún más la conversión entre registros de
representación.
Finalmente, si bien la metodología empleada en este estudio ha demostrado ser
eficaz, la limitación principal radica en la selección no probabilística de
conveniencia de los estudiantes, lo que sugiere la necesidad de estudios con
muestras más amplias y diversificadas. No obstante, los resultados obtenidos son
válidos dentro del contexto de la muestra estudiada y ofrecen una base sólida para
la integración de herramientas tecnológicas en la enseñanza de conceptos
matemáticos abstractos.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Acosta, S. F. (2023). Los enfoques de investigación en las Ciencias Sociales.
Revista Latinoamericana Ogmios, 3(8), 82–95.
https://doi.org/10.53595/rlo.v3.i8.084
Andrade, C. y de los Ángeles, M. y Jaramillo, L. y Leonardo, M. y Caraguay, M.
y Cecibel, G. y Ordóñez, E. y Armando, W. (2020). Las Tics como
herramienta metodológica en matemática. Revista Espacios, 41(11), 7.
https://revistaespacios.com/a20v41n11/a20v41n11p07.pdf
385
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
Arteaga, E. y Felipe, M. y Mendieta, J. y Martínez, J. (2019). El GeoGebra:
una herramienta tecnológica para aprender matemática en la
Secundaria Básica haciendo matemática. Revista Conrado, 15(70), 102–
108. http://scielo.sld.cu/pdf/rc/v15n70/1990-8644-rc-15-70-102.pdf
Bautista, M. L. y Victoria, E. y Vargas, L. B. y Hernández, C. C. (2020). Pruebas
estadísticas paramétricas y no paramétricas: su clasificación, objetivos
y características. Educación y Salud Boletín Científico Instituto de
Ciencias de La Salud Universidad Autónoma Del Estado de Hidalgo,
9(17), 78–81. https://doi.org/10.29057/icsa.v9i17.6293
Duval, R. (1995). Smiosis et pense humaine: registres smiotiques et
apprentissages intellectuels. Peter Lang.
Duval, R. (2006). A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in a
Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61(1),
103–131. https://doi.org/10.1007/s10649-006-0400-z
Hernández, O. (2021). Aproximación a los distintos tipos de muestreo no
probabilístico que existen. Revista Cubana de Medicina General
Integral, 37(3).
http://scielo.sld.cu/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0864-
21252021000300002&lng=es&tlng=es
Hernndez, R. y Mendoza, C. P. (2018). Metodologa de la investigacin : las
rutas cuantitativa, cualitativa y mixta. McGRAW-HILL INTERAMERICANA
EDITORES, S.A. de C. V.
Herrera, J. I. (2018). Las prácticas investigativas contemporáneas. Los retos
de sus nuevos planteamientos epistemológicos. Revista Scientific, 3(7),
6–15. https://doi.org/10.29394/scientific.issn.2542-
2987.2018.3.7.0.6-15
Molina, M. (2022). Paso a paso. Prueba de la t de Student para muestras
independientes. Revista Electrónica AnestesiaR, 14.
https://doi.org/10.30445/rear.v14i8.1060
Purwanto, A. y Asbari, M. y Iman Santoso, T. y Sunarsi, D. y Ilham, D. (2021).
Education Research Quantitative Analysis for Little Respondents:
Comparing of Lisrel, Tetrad, GSCA, Amos, SmartPLS, WarpPLS, and
SPSS. Jurnal Studi Guru Dan Pembelajaran, 4, 335–351.
https://doi.org/10.30605/jsgp.4.2.2021.1326
Puspita, E. y Suryadi, D. y Rosjanuardi, R. (2023). Learning Obstacles of
Prospective Mathematics Teachers: a Case Study on the Topic of
Implicit Derivatives. Kreano, Jurnal Matematika Kreatif-Inovatif, 14(1),
174–189. https://doi.org/10.15294/kreano.v14i1.42805
386
ISSN: 2600-6030
Vol. 8. Núm. 16 (ene - jul. 2025)
Revista Científica SAPIENTIAE.
Sánchez, R. y Borja, A. (2022). Geogebra en el proceso de Enseñanza-
Aprendizaje de las Matemáticas. Revista Científica Dominio de LAS
CIENCIAS, 8(2), 33–52.
Sánchez, D. V. (2022). Técnicas e instrumentos de recolección de datos en
investigación. TEPEXI Boletín Científico de La Escuela Superior Tepeji
Del Río, 9(17), 38–39. https://doi.org/10.29057/icea.v9i17.6019
Vizcaíno, P. I. y Cedeño, R. J. y Maldonado, I. A. (2023). Metodología de la
investigación científica: guía práctica. Ciencia Latina Revista Científica
Multidisciplinar, 7(4), 9723–9762.
https://doi.org/10.37811/cl_rcm.v7i4.7658